Limiti Cheat Sheet
Proprietà limiti
\mathrm{Se\:il\:limite\:di\:f(x),\:e\:g(x)\:esiste,\:allora\:il\:seguente\:si applica:}
\lim_{x\to a}(x}=a
\lim_{x\to{a}}[c\cdot{f(x)}]=c\cdot\lim_{x\to{a}}{f(x)}
\lim_{x\to{a}}[(f(x))^c]=(\lim_{x\to{a}}{f(x)})^c
\lim_{x\to{a}}[f(x)\pm{g(x)}]=\lim_{x\to{a}}{f(x)}\pm\lim_{x\to{a}}{g(x)}
\lim_{x\to{a}}[f(x)\cdot{g(x)}]=\lim_{x\to{a}}{f(x)}\cdot\lim_{x\to{a}}{g(x)}
\lim_{x\to{a}}[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{\lim_{x\to{a}}{f(x)}}{\lim_{x\to{a}}{g(x)}}, \quad "where" \: \lim_{x\to{a}}g(x)\neq0
Proprietà limiti tendenti a infinito
\mathrm{Per}\:\lim_{x\to c}f(x)=\infty, \lim_{x\to c}g(x)=L,\:\mathrm{il\:seguente\:apply:}
\lim_{x\to c}[f(x)\pm g(x)]=\infty
\lim_{x\to c}[f(x)g(x)]=\infty, \quad L>0
\lim_{x\to c}[f(x)g(x)]=-\infty, \quad L<0
\lim_{x\to c}\frac{g(x)}{f(x)}=0
\lim_{x\to \infty}(ax^n)=\infty, \quad a>0
\lim_{x\to -\infty}(ax^n)=\infty,\quad \mathrm{n\:è\:pari} , \quad a>0
\lim_{x\to -\infty}(ax^n)=-\infty,\quad \mathrm{n\:è\:dispari} , \quad a>0
\lim_{x\to \infty}\left(\frac{c}{x^a}\right)=0
0^{0}
\infty^{0}
\frac{\infty}{\infty}
\frac{0}{0}
0\cdot\infty
\infty-\infty
1^{\infty}
Limiti comuni
\lim _{x\to \infty}((1+\frac{k}{x})^x)=e^k
\lim _{x\to \infty}((\frac{x}{x+k})^x)=e^{-k}
\lim _{x\to 0}((1+x)^{\frac{1}{x}})=e
Criteri limiti
Limite di una costante
\lim_{x\to{a}}{c}=c
Limite fondamentale
\lim_{x\to{a}}{x}=a
Teorema del confronto
\mathrm{Siano\:f,\:g\:e\:h\:funzioni\:tali\:che\:per\:ogni\:}x\in[a,b]\:\mathrm{(tranne\:eventualmente\:in\:un\:punto\:limite\:c),}
f(x)\le{h(x)}\le{g(x)}
\mathrm{Inoltre\:supponiamo\:che,\:}\lim_{x\to{c}}{f(x)}=\lim_{x\to{c}}{g(x)}=L
\mathrm{Allora\:per\:qualsiasi\:}a\le{c}\le{b},\:\lim_{x\to{c}}{h(x)}=L
Regola di de l'Hôpital
\mathrm{Per}\:\lim_{x\to{a}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right),
\mathrm{se}\:\lim_{x\to{a}}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{0}{0}\:\mathrm{o}\:\lim_{x\to\:a}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{\pm\infty}{\pm\infty},\:\mathrm{allora}
{\lim_{x\to{a}}(\frac{f(x)}{g(x)})=\lim_{x\to{a}}(\frac{f^{'}(x)}{g^{'}(x)})}
Criterio di divergenza
\mathrm{Se\:esistono\:due\:successioni,\:}
\left{x_n\right}_{n=1}^{\infty}\mathrm{\:e\:}\left{y_n\right}_{n=1}^{\infty}\mathrm{\:con\:}
x_n\ne{c}\mathrm{\:e}y_n\ne{c}
\lim_{n\to\infty}{x_n}=\lim_{n\to\infty}{y_n}=c
\lim_{n\to\infty}{f(x_n)}\ne\lim_{n\to\infty}{f(y_n)}
\mathrm{Allora\:}\lim_{x\to\:c}f(x)\mathrm{\:non\:esiste.}
Regola della catena per i limiti
\mathrm{Se}\:\lim_{u\:\to\:b}\:f(u)=L,\:\mathrm{e}\:\lim_{x\:\to\:a}g(x)=b,\:\mathrm{e}\:f(x)\:\mathrm{è\:continua\:in}\:x=b
\mathrm{Allora:}\:\lim_{x\:\to\:a}\:f(g(x))=L
Algebra
