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dimostrare cos(2θ)=2cos^2(θ)-1

Soluzione

prove

Vero

Fasi della soluzione

cos (2 θ) = 2 cos^{2} (θ) - 1

Manipolando il lato sinistro

cos (2 θ)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (2 θ)

Riscrivi come

= cos (θ + θ)

Usa la formula della somma degli angoli:

cos (s + s) = cos (s) cos (s) - sin (s) sin (s)

= cos (θ) cos (θ) - sin (θ) sin (θ)

Semplifica

cos (θ) cos (θ) - sin (θ) sin (θ) : cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ) - sin (θ) sin (θ)

cos (θ) cos (θ) = cos^{2} (θ)

cos (θ) cos (θ)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (θ) cos (θ) = cos^{1 + 1} (θ)

= cos^{1 + 1} (θ)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ) = sin^{2} (θ)

sin (θ) sin (θ)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (θ) sin (θ) = sin^{1 + 1} (θ)

= sin^{1 + 1} (θ)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) = 1

sin^{2} (θ) = 1 - cos^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) - (1 - cos^{2} (θ))

Semplifica

cos^{2} (θ) - (1 - cos^{2} (θ)) : 2 cos^{2} (θ) - 1

cos^{2} (θ) - (1 - cos^{2} (θ))

- (1 - cos^{2} (θ)) : - 1 + cos^{2} (θ)

- (1 - cos^{2} (θ))

Distribuire le parentesi

= - 1 - (- cos^{2} (θ))

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + cos^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) - 1 + cos^{2} (θ)

Semplifica

cos^{2} (θ) - 1 + cos^{2} (θ) : 2 cos^{2} (θ) - 1

cos^{2} (θ) - 1 + cos^{2} (θ)

Raggruppa termini simili

= cos^{2} (θ) + cos^{2} (θ) - 1

Aggiungi elementi simili:

cos^{2} (θ) + cos^{2} (θ) = 2 cos^{2} (θ)

= 2 cos^{2} (θ) - 1

= 2 cos^{2} (θ) - 1

= 2 cos^{2} (θ) - 1

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero